Para poder fazer os logs da sua aplicação Java sem utilizar nenhum famework, basta utilizar a classe Logger do Java.

Para utilzar a classe Logger é bem simples.

private final Logger logger = Logger.getLogger(this.getClass().getSimpleName());

E a classe Logger que deve ser importada é a do pacote

import java.util.logging.Logger;

E para fazer o log basta utilizar o código abaixo.

logger.log(Level.INFO, "Mensagem")